Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) définie par
\[ f(x):=
\begin{cases}
x^2-2x&\text{ si }x\leqslant 1\,,\\
\frac{x+2}{x}&\text{ si }x>1\,.
\end{cases}
\]
- Si \(x_n=1-\frac{1}{n}\), calculer \(\displaystyle\lim_{n\to \infty} f(x_n)\).
- Si \(y_n=1+\frac{1}{n}\), calculer \(\displaystyle\lim_{n\to \infty} f(y_n)\).
- Si \(z_n=1+\frac{(-1)^n}{n}\), calculer \(\displaystyle\lim_{n\to \infty} f(z_n)\).
Que concluez-vous?
On a vu
ici (Lemme sur le critère
via les suites) qu'on peut
définir, si on le désire, la limite d'une fonction en un point \(x_0\) à l'aide
de suites qui tendent vers \(x_0\).
Dans cet exercice, on étudie le comportement de \(f\) dans un voisinage de
\(x_0=1\), en considérant trois suites particulières:
- une suite \((x_n)\) qui s'approche de \(1\) par la gauche,
- une suite \((y_n)\) qui s'approche de \(1\) par la droite,
- une suite \((z_n)\) qui s'approche de \(1\) en changeant de côté à chaque
\(n\).
- Remarquons que \(x_n<1\) pour tout \(n\), et donc
\[
f(x_n)=x_n^2-2x_n=-1+\frac{1}{n^2}\,,
\]
ce qui donne
\[ \lim_{n\to\infty}f(x_n)=-1\,. \]
- Ensuite, \(y_n>1\) pour tout \(n\) et donc
\[
f(y_n)=\frac{y_n+2}{y_n}=1+\frac{2n}{n+1}\,,
\]
ce qui donne
\[ \lim_{n\to\infty}f(y_n)=3\,. \]
- Remarquons que
\[\begin{aligned}
f(z_n)
&=
\begin{cases}
f(1+\frac{1}{n})&\text{ si n est pair}\,,\\
f(1-\frac{1}{n})&\text{ si n est impair}\,,
\end{cases}\\
&=
\begin{cases}
1+\frac{2n}{n+1}&\text{ si n est pair}\,,\\
-1+\frac{1}{n^2}&\text{ si n est impair}\,.
\end{cases}
\end{aligned}\]
Puisque l'on observe que \(f(z_{2k})\to 3\) et \(f(z_{2k+1})\to 1\), on en
déduit que \(f(z_n)\) n'a pas de limite lorsque \(n\to \infty\).
Comme on a deux suites \(x_n\to 1\), \(y_n\to 1\) telles que
\[\lim_{n\to \infty} f(x_n)\neq \lim_{n\to \infty} f(y_n)\,,\]
(et même une troisième suite \((z_n)\) le long de laquelle on n'a même pas
existence de la limite,)
on conclut par
le
lemme (Critère d'existence via
les suites) que \(f(x)\) n'a pas de limite lorsque \(x\to 1\).