Exercice 09-05
Soient \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) et soit la fonction
\(f\colon[0,\infty [\to\mathbb{R}\) définie par
\[
f(x) =
\begin{cases}
\dfrac{3x^2-10x+3}{x^2-2x-3} &\text{ si } x\gt 3\,,\\
\alpha & \text{ si }x=3\,, \\
\beta x-4 & \text{ si }x\lt 3
\end{cases}
\]
Étudier la continuité de \(f\) en \(x_0=3\) pour les paires de paramètres
\((\alpha,\beta)\) données ci-dessous.
\[
(1,\tfrac{1}{2})\qquad
(1,\tfrac{5}{3})\qquad
(2,\tfrac{5}{3})\qquad
(1,2)\qquad
(2,2)\,.
\]
On donnera, pour chaque paire \((\alpha,\beta)\), les propriétés de continuité
en \(x_0=3\) (continuité/discontinuité, à gauche/droite).
Pour commencer.
Puisqu'on ne considère que le point \(x_0=3\), on peut déjà commencer
par calculer
\(\lim_{x\to 3^-}f(x)\) et \(\lim_{x\to 3^+}f(x)\).
Les limites à gauche et à droite de \(f\) en \(x_0=3\) sont:
\[
\ell_{-}
=\lim_{x\to 3^-} f(x)
= \lim_{x\to 3^-}(\beta x-4)
=3\beta-4\,,
\]
et
\[\begin{aligned}
\ell_{+}
&=\lim_{x\to 3^+} f(x) \\
&=\lim_{x\to 3^+} \frac{3x^2-10x+3}{x^2-2x-3}\\
&=\lim_{x\to 3^+}\frac{(3x-1)(x-3)}{(x+1)(x-3)}\\
&=\lim_{x\to 3^+} \frac{3x-1}{x+1}\\
&=\frac{8}{4}= 2\,.
\end{aligned}\]
Comme \(f(3)=\alpha\), \(f\) est
continue à gauche en \(3\) si \(\ell_-=\alpha\), et
continue à droite en \(3\) si \(\ell_+=\alpha\).
Si, en plus, \(\ell_-=\ell_+=\alpha\),
alors \(f\) est continue en \(3\).
- Avec \(\alpha=1\), \(\ell_-=-\frac{5}{2}\) et \(\ell_+=2\), donc
\(f\) n'est continue ni à gauche ni à droite en \(3\).
- Avec \(\alpha=1\), \(\ell_-=1\) et \(\ell_+=2\), donc
\(f\) est continue à gauche mais pas à droite en \(3\).
- Avec \(\alpha=2\), \(\ell_-=1\) et \(\ell_+=2\), donc \(f\) n'est pas
continue à gauche mais elle est continue à droite en \(3\).
- Avec \(\alpha=1\), \(\ell_-=2\) et \(\ell_+=2\), on a bien
\(\ell_-=\ell_+\), mais
\(f\) n'est quand-même continue ni à gauche ni à droite en \(3\) parce que les
limites ne sont pas égales à \(f(3)\).
- Avec \(\alpha=2\), \(\ell_-=2\) et \(\ell_+=2\), \(f\) est continue en
\(3\).