Exercice 09-02
Donner, s'il y en a, un exemple explicite de fonction
  1. continue sur un intervalle fermé et borné, qui n'est pas majorée.
  2. définie sur un intervalle fermé et borné, qui est majorée mais pas minorée.
  3. continue sur un intervalle fermé, qui a un maximum mais pas de minimum.
  4. continue sur un intervalle borné, qui a un minimum mais pas de maximum.
  5. définie sur un intervalle fermé et borné, qui a un maximum mais pas de minimum.
  6. discontinue en tout point d'un intervalle fermé et borné, qui a un maximum et un minimum.
  7. définie sur un intervalle fermé et borné, dont l'ensemble image est un intervalle ouvert et borné.
Parmi les propriétés fondamentales des fonctions continues, que nous avons prouvées ici, nous avons: toute fonction continue sur un intervalle compact (fermé et borné) Le but de cet exercice est de faire apprécier les hypothèses sous lesquelles ces résultats est valable.
  1. Comme une fonction continue sur un compact est bornée, il n'existe pas de fonction avec cette propriété.
  2. Une telle fonction est forcément discontinue en au moins un point. Par exemple: \(f:[-1,1]\to\mathbb{R}\), définie par \[ f(x)= \begin{cases} -\frac{1}{x^2}\,&x\neq 0\,,\\ 0\,& x=0\,. \end{cases} \]
  3. L'intervalle sur lequel une telle fonction est définie doit forcément être non-borné. On peut par exemple prendre \(f:[1,\infty[\to \mathbb{R}\), \(f(x):= \frac1x\)
  4. L'intervalle sur lequel une telle fonction est définie ne peut pas être fermé. On peut par exemple prendre \(f:[0,1[\to \mathbb{R}\), \(f(x):= x\)
  5. Une telle fonction doit être discontinue en au moins un point. Par exemple: \(f:[-1,1]\to \mathbb{R}\), \(f(x):= x^2\) si \(x\neq 0\), \(f(0)=\frac{1}{2}\).
  6. Par exemple, \(f:[0,1]\to \mathbb{R}\), définie par \[ f(x)= \begin{cases} 1&x\in \mathbb{Q}\,,\\ 0&x\not\in \mathbb{Q}\,. \end{cases} \] Cette fonction atteint son maximum en tout point rationnel, et son minimum en tout point irrationnel. Et elle est discontinue partout.
  7. Rappelons que l'ensemble image d'une fonction continue sur un intervalle compact est un intervalle compact. Donc la fonction demandée doit nécessairement être discontinue en au moins un point. On peut par exemple prendre: \(f:[0,1]\to \mathbb{R}\), \(f(x)=x\) si \(x\in ]0,1[\), \(f(0)=f(1)=\frac12\).