18-Nov, 20:19
Quelques changements dans l'énoncé et la solution de cet exercice,
indiqués en
gras.
Soient \(I\) un intervalle non-vide,
\(f\colon I \rightarrow \mathbb{R}\) une fonction continue
non-constante.
Vrai ou faux?
- \(\mathrm{Im} (f)\) est un intervalle.
- Si \(I\) est borné et fermé, alors \(\mathrm{Im} (f)\) est borné et fermé.
- Si \(I\) est borné, alors \(\mathrm{Im} (f)\) est borné.
- Si \(I\) est ouvert, alors \(\mathrm{Im} (f)\) est ouvert.
- Si \(I=[a,b[\,\) avec \(a,b\in \mathbb{R}\), \(a\lt b\), alors \(f\) atteint
son minimum ou son maximum (ou les deux) sur \(I\).
- Si \(I=[a,\infty[\,\) avec \(a\in \mathbb{R}\), alors \(f\) atteint
son minimum ou son maximum (ou les deux) sur \(I\).
- Si \(f\) est strictement croissante et \(I\) est ouvert, alors \(\mathrm{Im} (f)\) est
ouvert.
Rappelons qu'un
intervalle
peut être borné ou pas, et contenir ses extrémités ou pas.
Pour une fonction
continue sur un intervalle, on a vu quelques
résultats fondamentaux dans le cas où l'intervalle est
compact (fermé et borné).