Les résultats ci-dessous sont écrits sous la forme \(z=re^{\mathsf{i}\theta}\), où \(r=|z|\) est le module de \(z\), et \(\mathrm{Arg }(z)=\theta\) un argument.

1. \[\begin{aligned} z=2+2\mathsf{i}&=2\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} +\mathsf{i}\frac{1}{\sqrt{2}})\\ &=2\sqrt{2}e^{\mathsf{i}\frac{\pi}{4}} \end{aligned}\]
2. \[\begin{aligned} z=-1+\mathsf{i}\sqrt{3} &=2(-\frac{1}{2}+\mathsf{i}\frac{\sqrt{3}}{2})\\ &=2(\cos(\frac{2\pi}{3})+\mathsf{i} \sin(\frac{2\pi}{3}))\\ &= 2e^{\mathsf{i}\frac{2\pi}{3}} \end{aligned}\]
3. Pour commencer, calculons le module: \[ |z|=\sqrt{(-1)^2+\tan(3)^2}=\sqrt{\frac{1}{\cos(3)^2}}=\frac{1}{|\cos(3)|}\,. \] Remarquons que \(\cos(3)\lt 0\) , et donc \(|\cos(3)|=-\cos(3)\). Ainsi, en mettant ce module en évidence, \[\begin{aligned} z&=-1+\mathsf{i} \tan(3)\\ &=\frac{1}{|\cos(3)|}(\cos(3)-\mathsf{i} \sin(3))\\ &=\frac{1}{|\cos(3)|}(\cos(-3)+\mathsf{i} \sin(-3))\\ &=\frac{1}{|\cos(3)|}e^{-3\mathsf{i}}\,. \end{aligned}\]
4. \[\begin{aligned} z = \frac{8\mathsf{i}^{21}-2\mathsf{i}^{11}}{1-\mathsf{i}} &=\frac{8\mathsf{i}-2\mathsf{i}^{3}}{1-\mathsf{i}}\\ &=\frac{8\mathsf{i}+2\mathsf{i}}{1-\mathsf{i}}\\ &=10\mathsf{i}\frac{1}{1-\mathsf{i}}\\ &=10\mathsf{i}\frac{1+\mathsf{i}}{2}\\ &=5\sqrt{2}(-\frac{1}{\sqrt{2}} +\mathsf{i}\frac{1}{\sqrt{2}})\\ &=5\sqrt{2}\,e^{\mathsf{i}\frac{3\pi}{4}} \end{aligned}\]