Pour factoriser \(P(z)=z^6+1\), on trouve d'abord toutes ses racines. Donc on commence par écrire \[z^6=-1=e^{i\pi}\,.\] Les racines complexes sont donc \[ z_{k+1}=e^{i(\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{3})}, \quad k\in \{0,1,2,3,4,5\}\,. \] On a donc les racines sixièmes de \(-1\): \[\begin{aligned} z_{1}&=e^{\mathsf{i}\frac{\pi}{6}}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}+\mathsf{i}\tfrac{1}{2}\,\quad z_{2}=e^{\mathsf{i}(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3})}=\mathsf{i}\,,\\ z_{3}&=e^{\mathsf{i}(\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3})}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}+\mathsf{i}\tfrac{1}{2}\,,\quad z_{4}=e^{\mathsf{i}(\frac{\pi}{6}+\pi)}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}-\mathsf{i}\tfrac{1}{2}\,,\\ z_{5}&=e^{\mathsf{i}(\frac{\pi}{6}+\frac{4\pi}{3})}=-\mathsf{i}\,,\quad z_{6}=e^{\mathsf{i}(\frac{\pi}{6}+\frac{5\pi}{3})}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}-\mathsf{i}\tfrac{1}{2}\,. \end{aligned}\] Ainsi, la factorisation en facteurs irréductibles complexes est donnée par \[\begin{aligned} &z^{6}+1 =\prod_{k=1}^6(z-z_k)=\\ & (z-\tfrac{\sqrt{3}}{2}-i\tfrac{1}{2}) (z-i) \bigl(z+\tfrac{\sqrt{3}}{2}-i\tfrac{1}{2}\bigr) \bigl(z+\tfrac{\sqrt{3}}{2}+i\tfrac{1}{2}\bigr) (z+i) \bigl(z-\tfrac{\sqrt{3}}{2}+i\tfrac{1}{2}\bigr)\,. \end{aligned}\] Puisque l'équation est à coefficients réels, ses racines complexes sont deux à deux conjuguées. Ici, les paires conjuguées sont \(z_1=\overline{z_6}\), \(z_2=\overline{z_5}\) et \(z_3=\overline{z_4}\). Rappelons maintenant que pour toute paire conjuguée \(c,\overline{c}\), on a \[ (z-c)(z-\bar{c})=z^{2}-(c+\bar{c})z+c\,\bar{c}=z^{2}-2\operatorname{Re}(c)z+\vert c\vert ^{2}\,. \] On obtient donc la factorisation en polynômes irréductibles réels: \[ z^{6}+1=(z^{2}-\sqrt{3}z+1)(z^{2}+1)(z^{2}+\sqrt{3}z+1)\,. \]