Comme \(e^{\mathsf{i}\frac{\pi}{2}}=\mathsf{i}\), on a \[ 1+\sqrt{3}e^{\mathsf{i}\frac{\pi}{2}}=1+\mathsf{i}\sqrt{3}\,, \] qu'on récrit sous forme polaire: \[ 1+\mathsf{i}\sqrt{3}=2e^{\mathsf{i}\frac{\pi}{3}}\,. \] Ainsi l'équation devient \[ z^{2}=(2e^{\mathsf{i}\frac{\pi}{3}})^{8}=2^{8}e^{\mathsf{i}\frac{8\pi}{3}}= 2^{8}e^{\mathsf{i}\frac{2\pi}{3}}\,. \] Les solutions sont donc \[\begin{aligned} z_{1} & = 2^{4}\,e^{i\tfrac{\pi}{3}}=16(\tfrac{1}{2}+\mathsf{i}\tfrac{\sqrt{3}}{2}) = 8+\mathsf{i}\,8\sqrt{3}\,,\\ z_{2} & = 2^{4}\,e^{\mathsf{i}\tfrac{4\pi}{3}} = 16(-\tfrac{1}{2}-\mathsf{i}\tfrac{\sqrt{3}}{2} ) =-8-\mathsf{i} 8\sqrt{3}\,. \end{aligned}\] Les quantités recherchées sont alors \[\begin{aligned} \operatorname{Re}(z_1)&= 8, & \operatorname{Im}(z_1)&= 8\sqrt{3}, & |z_1|&=16, & \mathrm{Arg }(z_1)&=\tfrac{\pi}{3}\,, \\ \operatorname{Re}(z_2)&= -8, & \operatorname{Im}(z_2)&= -8\sqrt{3}, & |z_2|&=16, & \mathrm{Arg }(z_2)&=\tfrac{4\pi}{3}\,. \end{aligned}\]