Il s'agit de vérifier que \[ f^{-1}(-y)=-f^{-1}(y)\,\quad \forall y\in \mathbb{R}\,. \] Fixons donc \(y\in \mathbb{R}\). Soit \(x\) l'unique réel pour lequel \(f^{-1}(-y)=x\). Par la définition de la réciproque, \((f\circ f^{-1})(y)=y\), ceci implique que \(-y=f(x)\) (on a ''pris \(f\) des deux côtés''), qui donne \(y=-f(x)\).

Maintenant, puisque \(f\) est impaire, \(y=f(-x)\). En prenant \(f^{-1}\) des deux côtés de cette dernière identité, on obtient \(f^{-1}(y)=-x\), c'est-à-dire \(x=-f^{-1}(y)\). Ceci montre bien que \(f^{-1}(-y)=-f^{-1}(y)\).