Soit \(f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) une fonction bijective et
croissante. Alors
\(f^{-1}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) est croissante.
Comme le graphe de \(f^{-1}\) s'obtient par une réflexion de celui de \(f\) à
travers la diagonale, on en déduit facilement que si \(f\) est croissante, alors
\(f^{-1}\) l'est aussi.
Mais donnons une preuve rigoureuse:
Supposons que \(f\) est croissante, et par
l'absurde, supposons que \(f^{-1}\) n'est pas croissante.
Si \(f^{-1}\) n'est pas croissante, cela implique qu'il
doit exister \(y_1\lt y_2\) tels que
\[
f^{-1}(y_1)\gt f^{-1}(y_2)\,.
\]
En posant
\(x_1:= f^{-1}(y_1)\) et
\(x_2:= f^{-1}(y_2)\), on a donc \(x_1\gt x_2\). Mais la croissance de
\(f\) implique \(f(x_1)\geqslant f(x_2)\), et comme
\[\begin{aligned}
f(x_1)&=f(f^{-1}(y_1))=y_1\,,\\
f(x_2)&=f(f^{-1}(y_2))=y_2\,,
\end{aligned}\]
on en déduit que \(y_1\geqslant y_2\), une contradiction.