Si \(|z|=1\), on sait que \(z\) peut s'écrire comme \(z=e^{\mathsf{i} \theta}\), et donc \[\begin{aligned} z^5+\frac{1}{z^5} &=e^{\mathsf{i} 5\theta}+\frac{1}{e^{\mathsf{i} 5\theta}}\\ &=e^{\mathsf{i} 5\theta}+e^{-\mathsf{i} 5\theta}\\ &= \left(\cos(5\theta)+\mathsf{i} \sin(5\theta)\right)+ \left(\cos(5\theta)-\mathsf{i} \sin(5\theta)\right)\\ &=\underbrace{2\cos(5\theta)}_{\in\mathbb{R}}\,. \end{aligned}\]