Analyse 1 MATH-101(c)

Soit, pour tout \(k\in\mathbb{N}^*\), \(a_k = (-1)^k\, \dfrac{k+1}{k^2}\), et soit \(\displaystyle s_n=\sum_{k=1}^na_k\). Alors:

la série \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_k\) converge absolument.
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}s_n=+\infty\)
la série \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_k\) converge, mais ne converge pas absolument.
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}s_n=-\infty\)

On remarque que le terme général peut s'écrire \(a_k=(-1)^k x_k\), où \[ x_k=\frac{k+1}{k^2}=\frac{1}{k}+\frac{1}{k^2}\,. \] Puisque \((x_k)\) est décroissante et \(x_k\to 0\), le critère de Leibniz implique que la série \(\sum_ka_k\) converge.

Pourtant, \[ |a_k|=x_k=\frac{1}{k}+\frac{1}{k^2} \geqslant \frac{1}{k}\,, \] donc puisque la série harmonique \(\sum_k\frac{1}{k}\) diverge, \(\sum_k|a_k|\) diverge aussi.

Donc la série \(\sum_ka_k\) converge, mais pas absolument.

Question 04 - Examen 2022