Soit \(\displaystyle\left( a_n\right) _{n\geqslant 1}\) la suite définie par
\[
a_n = (-1)^{n} \left(\frac{6n + 8}{2n}\right) - 3 - \frac 4 n.
\]
Alors:
\(\displaystyle\liminf_{n\rightarrow +\infty }a_n=-14\)
et \(\displaystyle\limsup_{n\rightarrow +\infty }a_n=0\)
\(\displaystyle\liminf_{n\rightarrow +\infty }a_n=-3\)
et \(\displaystyle\limsup_{n\rightarrow +\infty }a_n=0\)
\(\displaystyle\liminf_{n\rightarrow +\infty }a_n=-6\)
et \(\displaystyle\limsup_{n\rightarrow +\infty }a_n=6\)
\(\displaystyle\liminf_{n\rightarrow +\infty }a_n=-6\)
et \(\displaystyle\limsup_{n\rightarrow +\infty }a_n=0\)
On remarque que si \(n\) est pair, alors
\[
a_n = \left(\frac{6n + 8}{2n}\right) - 3 - \frac{4}{n}=0\,,
\]
et que si \(n\) est impair, alors
\[
a_n =(-1) \left(\frac{6n + 8}{2n}\right) - 3 - \frac{4}{n}
=-6-\frac{8}{n}\lt 0\,.
\]
Ceci implique que
\[ M_n=\sup\{a_n,a_{n+1},\dots\}=0\,,
\]
donc
\[
\limsup_{n\to \infty}a_n=0\,,
\]
et
\[\begin{aligned}
m_n
&=\inf\{a_n,a_{n+1},\dots\}\\
&=
\begin{cases}
a_n& n \text{ impair}\,,\\
a_{n+1}& n \text{ pair}\,,\\
\end{cases}\\
&=
\begin{cases}
-6-\frac{8}{n}& n \text{ impair}\,,\\
-6-\frac{8}{n+1}& n \text{ pair}\,,
\end{cases}
\end{aligned}\]
donc
\[
\liminf_{n\to \infty}a_n=-6\,.
\]