Soit, pour \(a_0\in\mathbb{R}\), la suite \((a_n)_{n\geqslant 0}\) définie pour
\(n\geqslant 1\) par \(\displaystyle a_n=\frac12 a_{n-1}+\frac{1}{2}\).
Si \(a_0\gt 1\), la suite est croissante.
Si \(a_0\lt 1\), la suite est décroissante.
Si \(a_0\lt 0\), \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty\).
Remarquons que la fonction \(g(x)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\)
possède un seul point fixe, \(x_*=1\).
Le comportement de la suite en fonction
de la condition initiale s'obtient facilement:
On voit que si \(a_0=0\), la suite est convergente.
