Soit
\(f\colon \left]-\pi,\pi\right[\setminus \{0\}\to \mathbb{R}\) la fonction
définie par
\[
f(x)=\frac{\arctan(x^2)}{x\sin(x)}\,.
\]
Alors:
- \(f\) admet un prolongement par continuité en \(x=0\), noté \(\hat{f}\), et
\(\hat{f}(0)=0\).
- \(f\) admet un prolongement par continuité en \(x=0\), noté \(\hat{f}\), et
\(\hat{f}(0)=\frac{\pi}{2}\).
- \(f\) n'admet pas de prolongement par continuité
en \(x=0\) car \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+}f(x)\neq \lim_{x\to 0^-}f(x)\).
- \(f\) admet un prolongement par continuité en \(x=0\), noté \(\hat{f}\), et
\(\hat{f}(0)=1\).