Soit, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\),
\(a_n = \left( \sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}\, \right)\sin\left(\frac1n\right)\).
Alors
- les séries \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) et
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n\) convergent.
- la série \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) converge, mais ne
converge pas absolument.
- la série \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) diverge.
- la série \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n\) diverge.