Soit \(f\colon\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) la fonction définie par
\[
f(x)=\left\{
\begin{array}{ccc}
x\,\sin \bigl( \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}-1\bigr) & \text{si} & x\neq 0\,, \\
& & \\
0 & \text{si} & x=0.
\end{array}
\right.
\]
Alors
- \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), mais \(f'\) n'est pas continue sur \(\mathbb{R}\).
- \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\), et dérivable \à gauche mais pas \à droite en \(x=0\).
- \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\), et dérivable \à droite mais pas à gauche en \(x=0\).
- \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\).